Oui et non,
Il est légal de travailler sans contrat de travail, car par défaut vous êtes considéré comme ayant un CDI, les conditions de celui-ci étant dictées par le code du travail, et la convention collective qui s'applique à la société.
Par contre, votre employeur a l'obligation de vous déclarer. Vérifier que c'est bien le cas, car l'absence de contrat de travail reste rare, et est plus souvent dû à de l'ignorance de la part de l'employeur.
Je vous invite donc à demander le plus rapidement à votre employeur de régulariser la situation. Toutefois, faites bien attention lorsque vous le signez. Si votre date d'entrée peut correspondre à la date à partir de laquelle vous avez effectivement commencé à travailler, la date de signature doit absolument correspondre à la date à laquelle vous le signez, et ne doit pas être antidatée (comme l'a souligné bodier8).
Pour quitter votre emploi, vous devez donc faire une lettre de démission et respecter le préavis en vigueur.