Je ne comprends pas le problème : si vous trouvez du travail dans un hôpital public, demandez votre mutation (démission-mutation). Si vous trouvez dans une collectivité territoriale ou dans un service de l'Etat (Collège, lycée) demandez un détachement et vous souhaitez travailler dans le privé, demandez à ce que votre demande passe devant la commission de déontologie qui est saisi pour la forme dans la plupart des cas.
Toutes ces demandes prennent autant de temps qu'une demande de disponibilité, car dans tous ces cas, de toute façon, votre DG, s'il estime que les nécessités de service le commandent, pourra subordonner vos demandes à un délai qui peut aller jusqu'à plusieurs mois.