Cohabitation (ou pas) suite séparation union libre avec enfants

Bonjour,

pour commencer il s'agit de mon premier post sur ce site que je consulte régulièrement comme une référence sur le juridique "courant", et je tiens à remercier toutes les personnes qui ont les compétences et la gentillesse de nous répondre.

Alors voici mon cas :

Je suis le papa, seul propriétaire de la maison dans laquelle nous habitons aujourd'hui à 4 (avec nos deux enfants). Suite à une tentative de reformer notre famille nous avons décidé à l'été 2016 de nous remettre ensemble après une première séparation de 7 mois. Malheureusement l'espoir c'est transformé en échec et j'ai décidé il y a 3 semaines de mettre fin définitivement à notre relation (devant faire face à des critiques récurrentes de Mme malgré mes efforts pour améliorer le quotidien, le problème ne venant évidemment que de moi elle n'a fait aucun effort de son côté!)

Bref, Mme ne travaille pas depuis 1 an et demi (arrêt travail longue durée suite problème de santé), et à peine une semaine après cette rupture j'apprends qu'elle est en couple! Elle est partie les deux week-ends derniers du vendredi au lundi pour le rejoindre (sous prétexte de voir des amies, mais une simple "audition" d'une conversation téléphonique de Mme à 1h30 du matin m'a ouvert les yeux)

Ma position : même si je regrette cet échec, je ne supporte évidemment pas qu'elle puisse entretenir une relation à peine séparée, alors qu'elle est encore sous mon toit! Moi qui lui proposait un arrangement en bons termes, cela commence par le respect, et il y a des limites au supportable.

Malheureusement, elle se renseigne juridiquement et ne demande qu'une chose : que je la mette officiellement dehors pour courir chez le JAF et faire sa victime pour obtenir le maximum en droit de garde et en montant de pension (elle a d'ailleurs le droit à l'aide juridictionnelle).

Ma question est simple après ce long exposé : comment agir intelligemment? Le principal étant l'équilibre de mes enfants, mais aussi mon propre bien être (sa présence la semaine me rend dingue intérieurement).

Précisions (utiles ou non à vous de voir) :
- Je signe cette semaine un compris de vente pour la maison (date de vente prévue à Juillet 2017 pour laisser les enfants terminer l'année scolaire)
- Mme a fait une sérieuse TS l'été 2016
- Elle m'a annoncé être enceinte (nos rapports étaient calculés sur son cycle de menstruation, méthode qu'elle m’affirmait très fiable) et a fait une IVG suite à ma demande (c'est l'évènement qui m'a fait prendre conscience que nous n'aspirions pas au même avenir et qui a mené à la rupture)
- Je souhaite demander la garde exclusive des enfants cette fois (et cela risque d'être très compliqué à obtenir) pour leur propre équilibre face à cette maman aimante mais profondément déséquilibrée.