Si vous pouvez bénéficier de l'ARE (ce qui devrait être le cas puisque vous avez plus de 60 ans même si vous n'avez pas les trimestres requis - voir passages en gras), vous serez aussi éligibles à la DRT.
Je pense que votre conseiller se trompe

Voici les textes que je viens de parcourir.

Textes officiels sur la Dispense de recherche d’emploi

Article L.351-16 du Code du travail

La condition de recherche d’emploi prévue à l’article L. 351-1 est satisfaite dès lors que les intéressés sont inscrits comme demandeurs d’emploi et accomplissent, à leur initiative ou sur proposition de l’un des organismes mentionnés au premier alinéa de l’article L.311-1, des actes positifs et répétés en vue de retrouver un emploi, de créer ou de reprendre une entreprise.

Sont toutefois dispensés, à leur demande, de cette condition, les bénéficiaires des allocations prévues aux articles L.351-3 et L.351-10 qui satisfont à une condition d’âge.

Un décret en Conseil d’Etat fixe les mesures d’application du présent article.

Les allocations désignées sont l’ARE et l’ASS. Voir plus bas (a)

Article R.351-26 du Code du travail

En application du deuxième alinéa de l’article L.351-16, sont dispensés, à leur demande, de la condition de recherche d’emploi posée au premier alinéa dudit article :
- 1º Les bénéficiaires des allocations mentionnées à l’article L.351-3 et à l’article L.351-12 âgés d’au moins cinquante-sept ans et demi ou, s’ils justifient d’au moins 160 trimestres validés dans les régimes de base obligatoires d’assurance vieillesse ou de périodes reconnues équivalentes, d’au moins cinquante-cinq ans ;
- 2º Les bénéficiaires des allocations mentionnées à l’article L. 351-10 âgés de cinquante-cinq ans ou plus.

Toutefois, les bénéficiaires d’une dispense de recherche d’emploi doivent informer dans un délai de soixante-douze heures l’organisme qui leur verse le revenu de remplacement de tout changement susceptible d’affecter leur situation au regard du paiement du revenu de remplacement, notamment de toute reprise d’activité, salariée ou non, rémunérée ou non.

(a) Allocation d'aide au retour à l'emploi

L’ARE peut être accordée aux personnes involontairement privées d’emploi qui remplissent les conditions suivantes :
- avoir exercé une activité professionnelle salariée pendant au moins 6 mois au cours des 22 mois précédant la fin du contrat de travail,
- être inscrites comme demandeur d’emploi ou accomplir une action de formation inscrite dans le projet personnalisé d’accès à l’emploi (PPAE, dispositif qui s’est substitué au « projet d’action personnalisé »),
- être à la recherche d’un emploi de façon effective et permanente (sauf cas de dispense liée à l’âge). Cette condition est satisfaite dès lors que les intéressés accomplissent, à leur initiative ou sur proposition de l’un des organismes appartenant au service public de l’empoi (notamment l’ANPE ou, lorsqu’elle sera opérationnelle, la nouvelle institution issue de la fusion de l’ANPE et des ASSEDIC) , des actes positifs et répétés en vue de retrouver un emploi, de créer ou de reprendre une entreprise (sur ce point, on peut se reporter aux précisions figurant dans la fiche les obligations des demandeurs d’emploià défaut, l’allocation peut être réduite, voire supprimée ;

- être âgées de moins de 60 ans ; toutefois, les personnes qui, lors de leur 60e anniversaire, ne justifient pas du nombre de trimestres d’assurance requis (tous régimes confondus), pour percevoir une pension à taux plein de la Sécurité sociale, peuvent bénéficier des allocations jusqu’à justification de ce nombre de trimestres et, au plus tard, jusqu’à l’âge de 65 ans ;
- être physiquement aptes à occuper un emploi,
- résider sur le territoire relevant du champ d’application du régime d’assurance chômage (Territoire métropolitain - DOM - Collectivité territoriale de Saint-Pierre-et-Miquelon),
- ne pas être en chômage saisonnier dans les conditions définies par l’accord d’application n° 4 de la Convention du 18 janvier 2006 (disposition applicable aux salariés involontairement privés d’emploi dont la fin de contrat de travail est postérieure au 17 janvier 2006).

En conclusion, je pense qu'il se trompe parce qu'il a mal lu le texte suivant: (oubli du ou avant la virgule)

1º Les bénéficiaires des allocations mentionnées à l’article L.351-3 et à l’article L.351-12 âgés d’au moins cinquante-sept ans et demi ou, s’ils justifient d’au moins 160 trimestres validés dans les régimes de base obligatoires d’assurance vieillesse ou de périodes reconnues équivalentes, d’au moins cinquante-cinq ans ;

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cas 1 - Vous avez ou n'avez pas les trimestres, mais vous avez + de 57.5 ans
cas 2 - Vous avez + de 55 ans et les 160 trimestres

dans les deux cas si vous bénéficiez de l'ARE vous pouvez demander la DRT.

Et le texte sur l'ARE dit que comme vous avez + de 60 ans et - de 65 ans, mais pas encore les trimestres requis (et que par ailleurs, ce que je suppose, vous remplissez les autres conditions en particulier être apte au travail, ...) vous devez bénéficier de l'ARE.