Assurance habitation procédure au tribunal

Bonjour,
Suite a un cambriolage je suis en desacord avec l'expert généraliste de l'assureur pour l'estimation d'une bague .
Mon contrat stipule un remboursement en valeur de " remplacement sur la base du cout au jour du sinistre d'un bien identque au bien disparu ou d'un bien pouvant rendre le même service cette valeur tiens compte de l'état de l'objet et est évaluée de gré a gré ou par expert " celui-estime la bague a 1800 € , achetée en 1989 5665€ le prix réactualisé par le bijoutier qui me l'a vendue est de 7560 €.
J'ai fait faire plusieurs estimation:
Une par un commisaire priseur qui estime la bague a 3500 € environ en vente publique .
L'autre par un bijouter ( meilleur ouvrier de france ) estimation a 7650 €
Divers site de vente de bijoux d'occasion on des bagues similaires entre 4500 € - 5000 €

J'ai fait intervenir le médiateur de l'assurance qui s'est déclaré incompétent car le litige pour sur la valeur de la bague .

Mon contrat stipule qu'en cas de désacord , je peux faire appel un un expert de mon choix , ce que j'ai fait , mais l'assureur reste sur ses positions , et qu'en cas de désacord que les experts s'entendent sur le chois d'un troisième
la désignation étant faite par le président du TGI
Ma question :
Doit-on suivre cette procédure ou bien peut-on directement devant le tribunal d'instance demander réparation ?
Cela évite l'assistance d'un avocat et des frais suppémentaires