Bonjour,
je ne suis pas juriste, mais a priori il me semble bien que les congés payés doivent être payés, du moment que vous les aviez posés et que l'employeur avait validé la demande ; votre absence pour maladie doit être justifiée, mais normalement les deux choses sont bien distinctes . Même si vous vous faites licencier votre employeur vous doit de toute façon vos congés payés.
Concernant le licenciement à l'amiable, l'employeur peut le refuser ou l'accepter ; s'il n'a rien à vous reprocher, il serait effectivement difficile pour lui de le justifier. D'autant qu'en cas de licenciement vous pouvez demander une indemnité, dans le cas d'une démission non ; donc pas intéressant pour lui de vous licencier. Au niveau des assedics, en cas de licenciement ou de fin de contrat il y a 1 mois de carence avant le versement de l'allocation ; en cas de démission, il me semble que c'est 3 ou 4 mois, mais je ne suis pas sûr à 100%, ça a sûrement évolué depuis la dernière fois où j'ai fait appel à eux...