Intérim : mauvaise date de début de mission

Bonjour

Je vous expose la situation suivante. Merci d'avance à ceux qui me liront.

Suite à une première mission d'intérim de 9 mois avec l'entreprise A, j'effectue 1 mois d'inactivité en attendant ma date de début de mission dans l'entreprise B (très proche de l'entreprise A, mais pas exactement la même entité juridique).

Entre moi et l'entreprise B, il y a deux entités interfaces : la boite d'intérim et le recruteur pour l'entreprise B: il gère les recrutements, participe aux entretiens etc..

Le manager et moi même sommes en contact par SMS et nous sommes tous les deux impatients de nous mettre au travail. Ma date de début est repoussée, car le contrat n'est pas signé et les détails ne sont pas finalisés. Dans la tête du manager, de la boite d'intérim et moi-même, tout est plus ou moins clair: je dois commencer le lundi 26/02. La boîte d'intérim m'a même confirmé oralement que je devrais recevoir mon contrat le vendredi 23/02 avant le week-end, pour commencer le lundi 26/02. J'ai reçu une convocation de la part de la boite d'intérim le 25/02 avec comme date de démarrage le 28/02, mais je n'ai pas prêté attention à la date de démarrage. Je m'attends donc à commencer le 26/02.

J'arrive donc hier sur site, je récupère mon badge (sans encombre, bien que 48h en avance) et je suis accueilli par mon manager. Grâce à mes anciens accès mails liés à ma première mission dans l'entreprise A, j'arrive à envoyer des mails à mes anciens collègues, mon compte mail n'ayant pas été désactivé lors de mon départ de l'entreprise A. Le début de journée se passe normalement. Durant la journée, nous nous rendons compte peu à peu avec ma manager que ma date de début est le 28/02. Les demandes d'accès IT sont pour le 28/02, elle a reçu un appel du recruteur et j'ai reçu un appel de la boite d'intérim qui vont en ce sens. Je n'ai à ce moment là toujours pas signé de contrat.  J'interromps donc mon circuit arrivé et quitte les locaux à 16h.

J'ai entretemps reçu un contrat avec une date de début le 28/02. Il a été sous-entendu qu'un arrangement sera fait au niveau de mes heures les premiers jours pour rattraper mon déplacement imprévu du lundi 26/02. Il n'est pas prévu de faire de contrat pour le lundi 26/02.

Je m'entends bien avec les entreprises A et B, et avec la boîte d'intérim. Je n'ai pas forcément envie que ma situation se détériore avec elles car j'ai envie de faire carrière dans A ou B.
D'un point de vue du droit, sommes nous d'accord qu'une erreur a été commise, potentiellement à mon avantage si j'ai envie de requalifier mon contrat en CDI ?
Quels sont les risques à mettre ce fait en avant, d'avoir un CDI sans contrat ? 

Merci d'avance aux contributeurs

Cordialement